ramanujan_bust.jpgகாசநோயின் பிடியில் மரணப்படுக்கையில் இருக்கும்பொழுது ராமானுஜன் பேராசிரியர் ஹார்டிக்கு எழுதிய கடிதத்தில் (இதுவே கணிதம் குறித்து ராமானுஜன் எழுதிய இறுதிக் கடிதம்) ஒரு புதுவகையான எண் தொடர்களைப் பற்றி எழுதியிருந்தார். யக்கோபி தீட்டா பங்ஷன் (Jacobi Theta Function) என்று சொல்லப்படும் இன்னொரு எண்தொடரைப் போலவே இருக்கும் இந்தத் தொடர்கள் முதன்முறையாக ராமானுஜனால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டிருந்தன. இது குறித்து அவர் எழுதிய கடிதத்தின் முதல் சில பக்கங்கள் காணாமல் போய்விட்டன. ஆனால், பின்பகுதியில் மாக்-தீட்டா பங்ஷன் (Mock Theta Function) எனப்படும் இந்தத் எண்தொடர்களுக்குப் பல உதாரணங்களைக் கொடுத்திருந்தார் ராமானுஜன்.

கடிதத்தின் முதல்பகுதி தொலைந்து போய்விட்டதால் மாக்-தீட்டா பங்ஷனின் வரையறை, அவற்றைத் தருவிக்கும் முறைகள், போன்றவற்றை ராமானுஜனிடமிருந்து நாம் இழந்துவிட்டோம். பொதுவில் ராமானுஜனின் பல எண் கணிதத் தேற்றங்களை அவர் சரியாக வரையறுக்கவில்லை, ஆனால் அவற்றைத் துல்லியமாக விளக்கியிருந்தார், அதற்கும் மேலாக அவருடைய பல உதாரணங்கள் அதிதுல்லியமானவை. எனவே, அவர் வரையறைகளையும் வருவிக்கும் முறைகளையும் எழுதி வைக்காவிட்டாலும் அவர் மனதில் அவற்றைப் பற்றிய எந்தச் சந்தேகங்களும் இல்லை என்பது இப்பொழுது தீர்மானமான உண்மையாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்டிருக்கிறது. (இதற்கு இல்லினாய்-அர்பானா பல்கலைக் கழகத்தின் பேரா. ப்ரூஸ் பெண்ட் மற்றும் பென்ஸில்வேனியா மாநிலப் பல்கலைக்கழகத்தின் பேரா. ஜார் ஆண்ட்ரூவிற்கும் நாம் பெரிதும் கடமைப்பட்டவர்கள். இவர்கள் இருவருமே ராமானுஜனின் அனைத்து கண்டுபிடிப்புகளையும் முறைப்படுத்தி ‘ராமானுஜன் ஏடுகள்’ என்ற தொடர் புத்தகங்களாகப் பதிப்பித்தவர்கள்). இந்தியாவிலிருந்த ஆரம்ப காலங்களில் தன் கண்டுபிடிப்புகளை ஒழுங்குபடுத்தி வெளியிடுவது குறித்து அறிந்திருக்கவில்லை என்றாலும் கேம்ப்ரிட்ஜ் பல்கலைக்கழத்தில் பேரா. ஹார்டியின் பயிற்றுவித்தலுக்குப் பிறகு அவர் வெளிப்பாடுகள் ஒழுங்காகவே வெளியிடப்பட்டிருக்கின்றன. அந்த வகையில் மாக்-தீட்டா பங்ஷன் குறித்து ராமானுஜன் கடித்ததின் முதல் பகுதியில் வரையறைகளை எழுதியிருக்கக்கூடும் என்று நம்பப்படுகிறது.

கிட்டத்தட்ட எண்பது வருடங்களுக்குப் பிறகு இப்பொழுது அந்த மாக்-தீட்டா பங்ஷன்கள் முறையாக வரையறுக்கப்பட்டிருக்கின்றன. விஸ்கான்ஸின்-மாடிஸன் பல்கலைகழகத்தின் கென் ஓனோ (Ken Ono) மற்றும் ஜெர்மன் கணிதவியலாளர் காத்ரின் ப்ரிங்மான் (Kathrin Bringmann) இருவரும் வெளியிடும் தொடரான மூன்று ஆராய்சிக் கட்டுரையில் இவை வரையறுக்கப்பட்டிருக்கின்றன.

தொடர்புள்ள யக்கோபி தீட்டா தொடர்களுக்கு இயற்பியலில் சில முக்கியத்துவம் இருப்பதாகக் கேள்விப்பட்டிருக்கிறேன். உதாரணமாக ஹீலியம், ஆர்கான் போன்ற நிறைவளிகளின் (Inert Gases) பகுப்புப் பண்புகள் (Partition Functions) யாக்கோபி தீட்டா தொடர்களால் விளக்கப்படுகிறது. இப்பொழுது ராமானுஜனின் மாக்-தீட்டா தொடர்களுக்கான முறையான வரையறை கிடைத்திருப்பதால் இதற்கும் இயற்பியல், வேதியியல் மற்றும் கணியியல் துறைகளில் பல பயன்கள் கிடைக்கும் என்று நம்பலாம்.

ஏற்கனவே மாக்-தீட்டா தொடர்களுக்கு பிறதுறைகளில் பயன்பாடுகள் இருக்கிறது என்றால் யாராவது சுட்டிக்காட்டவும். குறிப்பாக ரோஸா வஸந்த், வாஞ்சிநாதன், அருள் செல்வன் போன்ற கணிதம் அறிந்த நண்பர்கள் இதைப்பற்றி தெரியப்படுத்தினால் நன்றியுடையவனாக இருப்பேன்.

ராமானுஜன் தொடர்பான என்னுடைய முந்தைய பதிவுகள்:

பேரா. கென் ஓனோ ராமானுஜனின் ஒருக்கங்களை வரையறுத்தது குறித்த சென்ற வருடத்திய பதிவு

ராமானுஜன் வாழ்க்கை வரலாறு திரைப்படமாதல் குறித்து